3月27日，2025中關(guān)村論壇年會(huì)在北京開(kāi)幕。今年論壇年會(huì)主題為“新質(zhì)生產(chǎn)力與全球科技合作”，邀請(qǐng)諾貝爾獎(jiǎng)獲得者、頂級(jí)科學(xué)家、知名企業(yè)家，分享他們?cè)诳茖W(xué)研究、技術(shù)孵化、產(chǎn)品開(kāi)發(fā)、產(chǎn)業(yè)洞察方面的深刻見(jiàn)解，為中國(guó)新質(zhì)生產(chǎn)力的培育，為面向全球的科技創(chuàng)新與交流指引方向。

2014年菲爾茲獎(jiǎng)得主、瑞士洛桑聯(lián)邦理工學(xué)院教授、英國(guó)帝國(guó)理工學(xué)院教授馬丁·海爾先生發(fā)表以下主題演講——《數(shù)學(xué)不可思議的有效性》。

馬丁·海爾 演講實(shí)錄：

非常感謝各位給予我在本次論壇發(fā)言的機(jī)會(huì)。

數(shù)學(xué)始終是現(xiàn)代社會(huì)發(fā)展不可或缺的要素，這一點(diǎn)想必在座各位都深有體會(huì)。在線登錄銀行賬戶這一操作需要依賴于公鑰加密技術(shù)，其理論基礎(chǔ)正是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)家們一個(gè)世紀(jì)前研究的數(shù)學(xué)難題——大數(shù)分解與離散對(duì)數(shù)的計(jì)算復(fù)雜性。使用手機(jī)GPS定位則驗(yàn)證了愛(ài)因斯坦相對(duì)論關(guān)于時(shí)空彎曲的推測(cè)，而“時(shí)空彎曲”的概念最早可追溯至19世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家黎曼的開(kāi)創(chuàng)性工作。電影中那些逼真的毛發(fā)、霧氣特效，以及水流動(dòng)畫(huà)，也都需要依托復(fù)雜的數(shù)學(xué)算法。至于當(dāng)下引發(fā)廣泛關(guān)注的ChatGPT、DeepSeek等大語(yǔ)言模型，其核心開(kāi)發(fā)工具隨機(jī)梯度下降法，正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的結(jié)晶。

六十多年前，1963年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)得主尤金·維格納在“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可思議的有效性”這篇經(jīng)典論文中，深入探討了數(shù)學(xué)能完美描述自然法則的深層邏輯。維格納特別指出，物理定律的恒常性及空間無(wú)關(guān)性，使得人類可通過(guò)重復(fù)實(shí)驗(yàn)提煉普適規(guī)律，并據(jù)此構(gòu)建演繹體系。歸根結(jié)底，數(shù)學(xué)也不僅是數(shù)字運(yùn)算，更是從簡(jiǎn)單公理得出復(fù)雜定律的推演模式。

這自然引出一個(gè)問(wèn)題：為何存在可供我們發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建知識(shí)體系的簡(jiǎn)單真理？維格納的論文沒(méi)有對(duì)此作出解答，甚至認(rèn)為數(shù)學(xué)的有效性十分“不可思議”。對(duì)此，現(xiàn)代理論物理學(xué)中的普適性概念或許能提供部分答案。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，普適性體現(xiàn)為最簡(jiǎn)潔自然的數(shù)學(xué)概念常橫跨多個(gè)看似無(wú)關(guān)的領(lǐng)域。

而在物理層面，普適性概念則略有不同，表現(xiàn)為當(dāng)尺度發(fā)生變化，尤其是面對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)時(shí)，只有極少數(shù)物理定律能夠保持有效性。例如，昆蟲(chóng)可輕易在水面行走，而人類卻無(wú)法實(shí)現(xiàn)，這就是尺度變化的體現(xiàn)。當(dāng)然，踏水而行的耶穌不在我們的討論之列。這種現(xiàn)象的根源在于微觀尺度下液體會(huì)顯得更為黏稠。拿水舉例，微觀尺度下其物理狀態(tài)近乎蜂蜜，表面張力也大幅提升。

布朗運(yùn)動(dòng)堪稱普適性研究的經(jīng)典范例。19世紀(jì)中葉，羅伯特·布朗通過(guò)顯微鏡首次觀察到花粉的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。1905年，愛(ài)因斯坦與斯莫魯霍夫斯基分別獨(dú)立提出理論闡釋。從物理層面來(lái)看，花粉粒的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)是水分子持續(xù)碰撞的結(jié)果；而在數(shù)學(xué)層面，僅需利用一個(gè)參數(shù)的擴(kuò)散方程即可描述該現(xiàn)象。實(shí)際上，這項(xiàng)研究是首個(gè)必須依賴原子存在性才能解釋的物理預(yù)測(cè)。這一預(yù)測(cè)最終由佩蘭通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，既為他贏得了1926年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，也為長(zhǎng)達(dá)數(shù)十年的原子存在性之爭(zhēng)畫(huà)上句點(diǎn)。

耐人尋味的是，同期開(kāi)展研究的巴舍利耶在其博士論文中分析股價(jià)波動(dòng)時(shí)，也獨(dú)立得出與愛(ài)因斯坦及斯莫魯霍夫斯基完全相同的數(shù)學(xué)模型。這套理論至今仍是量化金融的基石，并催生出1997年斬獲諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的布萊克-斯科爾斯模型。這正是普適性的絕佳例證：兩個(gè)本質(zhì)迥異、理論上需要多重參數(shù)描述的系統(tǒng)，其宏觀行為竟能通過(guò)僅含單一參數(shù)的相同數(shù)學(xué)模型解釋。

時(shí)至今日，新的普適過(guò)程仍在不斷涌現(xiàn)。例如，描述液晶相變界面、火焰鋒面等一維界面波動(dòng)的KPZ固定點(diǎn)理論，八年前才在數(shù)學(xué)層面得到刻畫(huà)。就個(gè)人研究經(jīng)歷而言，我也曾參與KPZ方程的詮釋工作。但必須承認(rèn)，大量相關(guān)問(wèn)題依然懸而未決，技術(shù)革新更持續(xù)催生全新挑戰(zhàn)。以機(jī)器學(xué)習(xí)為例，盡管當(dāng)前進(jìn)展令人驚嘆，但我們至今未能完全理解這些模型為何能展現(xiàn)如此卓越的性能。在當(dāng)今復(fù)雜多變的國(guó)際環(huán)境下，若想攻克這些科學(xué)難題，必須保障數(shù)學(xué)家以及全體科研工作者的自由協(xié)作空間。

感謝各位的聆聽(tīng)。

注：本文來(lái)源于2025中關(guān)村論壇年會(huì)嘉賓現(xiàn)場(chǎng)演講速記，文中內(nèi)容僅代表專家個(gè)人觀點(diǎn)